Martin Vohralík
Laboratoire Jacques-Louis Lions
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Adaptivní nepřesná Newtonova metoda s a posteriorními zastavovacími kritérii (společná práce s A. Ernem)
V této práci uvažujeme systémy nelineárních algebraických rovnic vznikajících při numerické diskretizaci nelineárních parciálních diferenciálních rovnic difúzního typu. K jejich (přibližnému) řešení uvažujeme nelineární iterační metodu a, na každém jejím kroku, iterační řešič systému lineárních algebraických rovnic. Hlavní praktický výsledek práce je návrh adaptivního uzpůsobení počtu kroků obou iteračních řešičů. Obě zastavovací kritéria jsou založena na a posteriorních odhadech, které rozlišují různé složky celkové chyby, v daném případě algebraickou chybu, linearizační chybu a diskretizační chybu. Příslušný řešič je zastaven v moment, kdy odpovídající chyba přestane ovlivňovat výrazným způsobem chybu celkovou. Naše a posteriorní odhady zároveň poskytují zaručenou horní hranici na celkovou chybu mezi přibližným a přesným řešením na každém kroku lineárního i nelineárního řešiče. V přednášce budou prezentovány výsledky dokazující lokální a globální efektivitu našich odhadů a zároveň jejich robustnost, tj. fakt, že dávají stejné výsledky nezávisle na velikosti nelinearity. Takového výsledku je možno dosáhnout díky výběru způsobu měření velikosti chyby, v daném případě duální normy rezidua v kombinaci se seminormou skoků přibližného řešení. Naše výsledky jsou odvozeny na abstraktní úrovni a tvoří ucelený rámec. V přednášce bude ukázáno, jak je aplikovat na příklady linearizace pomocí Newtonovy metody a metody pevného bodu, na běžná diskretizační schémata jako metoda konečných prvků, nekonformní metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, metoda konečných objemů a smíšená metoda konečných prvků a na obecný iterační algebraický řešič. Numerické experimenty potvrzují přesnou kontrolu chyby a podstatnou úsporu výpočetní náročnosti dosažitelné pomocí našeho přístupu.